미적분 예제

$y = - \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.3

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{4}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.4

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.5

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.3

$- \frac{1}{16}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{1}{16}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{16}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} (4 x^{3})$

단계 1.4.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4}{4} x^{3}$

단계 1.4.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

단계 1.4.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

단계 1.4.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + x^{3}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{1}{x^{5}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + x^{3}$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ 을 ${(x^{5})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.2.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

단계 2.2.4

${(x^{5})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 x^{2} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

단계 2.2.4.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - x^{- 10} (5 x^{4})$

단계 2.2.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 5 x^{- 10} x^{4}$

단계 2.2.6

지수를 더하여 $x^{- 10}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$3 x^{2} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

단계 2.2.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x^{2} - 5 x^{4 - 10}$

단계 2.2.6.3

$4$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$3 x^{2} - 5 x^{- 6}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 x^{2} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

단계 2.3.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{6}}$ 을 묶습니다.

$3 x^{2} + \frac{- 5}{x^{6}}$

단계 2.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} - \frac{5}{x^{6}}$