미적분 예제

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[0, 1]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 1]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

단계 6

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

단계 7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

단계 8

먼저 $u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 8.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 2$

단계 8.3

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 2$

단계 8.4

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 2$

단계 8.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

단계 9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

단계 10

$- 1$ , $- 2$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

단계 11

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

단계 12.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

단계 13

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

단계 13.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

단계 14

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

단계 14.1.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

단계 14.2

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

단계 15

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

단계 17

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

단계 18

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

단계 19