미적분 예제

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

단계 1

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ 을 함수로 씁니다.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

단계 2

함수 $F (t)$ 는 도함수 $f (t)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (t) = \int f (t) d t$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

단계 4

$d$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $d$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

단계 5.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

단계 5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

단계 5.5

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

단계 5.6

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

단계 5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

단계 5.8

$- 9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

단계 5.9

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

단계 5.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

단계 5.11

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

단계 5.12

$12 t^{- 8}$ 를 옮깁니다.

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

단계 5.13

$10 t^{- 2}$ 와 $4 t^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

단계 7

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $t^{4}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} t^{5}$ 가 됩니다.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

단계 9

$10$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $t^{- 2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- t^{- 1}$ 가 됩니다.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

단계 11

$12$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $t^{- 8}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ 가 됩니다.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $t^{5}$ 을 묶습니다.

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

단계 13.1.2

$t^{- 7}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

단계 13.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- 7}$ 를 분모로 이동합니다.

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

단계 13.2

간단히 합니다.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

단계 13.3

항을 다시 정렬합니다.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

단계 14

답은 함수 $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ 의 역도함수입니다.

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$