미적분 예제

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

단계 1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

단계 1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

단계 1.2.2

$- 4$ 를 $2$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

단계 1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

단계 1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

단계 1.4

최대공약수 $- x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

단계 2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

단계 3

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 2) (x + 6)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

단계 3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

단계 3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

단계 3.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

단계 3.1.2.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

단계 3.1.2.1.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

단계 3.1.2.1.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

단계 3.1.2.2

$- 6 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- x^{2} - 4 x + 12$

단계 3.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

단계 3.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 3.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

단계 3.4.2.1.2

$\frac{- 2}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot - 2$

단계 3.4.2.2

$- 1 \cdot - 2$ 을 $- - 2$ 로 바꿔 씁니다.

$d = - - 2$

단계 3.4.2.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$d = 2$

단계 3.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2.1.1.2

$- 1 (4)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2.1.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2.1.1.4

$4^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2.1.1.5

$4^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

단계 3.5.2.1.1.6

$\frac{4}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

단계 3.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 12 - - 4$

단계 3.5.2.1.2.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$e = 12 + 4$

단계 3.5.2.2

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$e = 16$

단계 3.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x + 2)}^{2} + 16$ 에 대입합니다.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

단계 4

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 4.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

단계 5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

단계 5.2

$- u^{2}$ 와 $4^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

단계 6

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (\frac{u}{4})$ 입니다

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

단계 7

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ 을 $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

단계 9.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

단계 9.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

단계 9.3.2

공약수로 약분합니다.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

단계 9.3.3

수식을 다시 씁니다.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$