미적분 예제

$4 x (1 + \ln (x))$

단계 1

$4 x (1 + \ln (x))$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

단계 4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

단계 4.3

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

단계 5

$4 x + x \ln (x^{4})$ 을 $4 x + x (4 \ln (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

단계 7

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

단계 9

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

단계 10

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 11.3

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 11.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 11.5

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

단계 11.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

단계 11.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.2.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 11.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 11.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

단계 14.2

간단히 합니다.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

단계 14.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

단계 14.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 14.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 14.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 14.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 14.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

단계 14.4.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.3.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

단계 14.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

단계 14.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

단계 14.4.4

$2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

단계 14.4.5

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$