미적분 예제

$2 \arctan (x)$

단계 1

$2 \arctan (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \arctan (x) d x$

단계 5

$u = \arctan (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 6

$x$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 7.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 7.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 7.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

단계 8.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

단계 13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (x) x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

단계 13.3

$\arctan (x) x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

단계 13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

단계 13.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.5.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

단계 13.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 13.6

$\arctan (x) x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 13.7

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = 2 \arctan (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$