미적분 예제

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (y) = x^{2}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.3

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ 입니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$f (y) = x$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.4.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.4.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.4.2

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

단계 2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

단계 3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$x'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x^{2} y$ 를 뺍니다.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.2

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$2 y^{2} x x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.2.2

$- 2 y x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.2.3

$2 x x'$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.2.4

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.2.5

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ 에서 $2 x'$ 를 인수분해합니다.

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

단계 5.3

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ 의 각 항을 $2 (y^{2} x - y + x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ 의 각 항을 $2 (y^{2} x - y + x)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.2.2

$y^{2} x - y + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

$- 2 x^{2} y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

단계 5.3.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.2

$- x^{2} y + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

$- x^{2} y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.2.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.2.4

$x (- x y) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.3

$- x y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.5

$- (x y) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.6.1

$- (x y - 1)$ 을 $- 1 (x y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

단계 5.3.3.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$