미적분 예제

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$v^{4} + 4 v^{8}$ 에서 $v^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

단계 1.1.2

$4 v^{8}$ 에서 $v^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

단계 1.1.3

$v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ 에서 $v^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

단계 1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$v^{5}$ 에서 $v^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

단계 2

$1$ 와 $4 v^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

단계 3

$4 v^{4} + 1$ 을 $v$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

단계 3.2

피제수 $4 v^{4}$ 의 고차항을 제수 $v$ 의 고차항으로 나눕니다.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

단계 3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

단계 3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 v^{4} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

단계 3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

단계 3.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

단계 3.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

단계 5

$4$ 은 $v$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $v^{3}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} v^{4}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 와 $v^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

단계 8

$\frac{1}{v}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\ln (| v |)$ 입니다.

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{v^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

단계 9.1.2

$2$ , $1$ 일 때, $\ln (| v |)$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.5

$4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.7.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.7.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.8

$4$ 와 $\frac{15}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.9

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.10

$60$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.10.1

$60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.10.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.1.3.10.2.4

$15$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 9.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

단계 9.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

단계 9.3.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 + \ln (2)$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$15 + \ln (2)$

소수 형태:

$15.69314718 \dots$

단계 11