미적분 예제

$4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x] + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \cdot 1) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) (2 x))$

단계 3.12

$3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + 2 \cdot (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (5 x)) x)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3}) x + 2 (- 2 x^{2}) x + 2 (5 x) x)$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x^{2} (9 x^{2})) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 (x^{2} x^{2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (x^{2 + 2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 (x^{4} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$4 (9 \cdot x^{4}) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.3

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$36 x^{4} + 4 (x \cdot x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$36 x^{4} + 4 (x^{1} x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 x^{4} + 4 (x^{1 + 2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$36 x^{4} + 4 (x^{3} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.5

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$36 x^{4} + 4 (- 4 \cdot x^{3}) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.6

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.7

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (5 \cdot x^{2}) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.8

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{3} x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 (x^{1} x^{3})) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{1 + 3}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.12

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{4}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.13

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.14

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{2} x) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 (x^{1} x^{2})) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{1 + 2}) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.17

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.18

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (2 (5 x) x)$

단계 4.5.19

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x \cdot x)$

단계 4.5.20

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x))$

단계 4.5.21

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x^{1}))$

단계 4.5.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{1 + 1})$

단계 4.5.23

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{2})$

단계 4.5.24

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

단계 4.5.25

$36 x^{4}$ 를 $24 x^{4}$ 에 더합니다.

$60 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

단계 4.5.26

$- 16 x^{3}$ 에서 $16 x^{3}$ 을 뺍니다.

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x^{2}$

단계 4.5.27

$20 x^{2}$ 를 $40 x^{2}$ 에 더합니다.

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 60 x^{2}$