미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 1.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 1.4

$15$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 2

지수 $- 5 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- 5 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

단계 5.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

단계 5.3

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2 - 15 \cdot 0$ 및 $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.2

$- 15 \cdot 0$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.3

$- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.5

$- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.6.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.1.6.2

$4 \cos (5 \cdot 0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

단계 7.1.6.3

$2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

단계 7.1.6.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

단계 7.1.6.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$0$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.2.2

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

단계 7.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

단계 7.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

단계 7.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

단계 7.3.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

단계 7.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$