미적분 예제

$lim_{n \to \infty} \frac{6 n^{3} + 2 n^{2} + 10}{n^{3} + 1}$

단계 1

분모의 $n$ 의 가장 높은 차수인 $n^{3}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.1.1.2

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.1.2

$n^{2}$ 및 $n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.1

$2 n^{2}$ 에서 $n^{2}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.2.1

$n^{3}$ 에서 $n^{2}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.2

$n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.3

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.4

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.5

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 2.6

$2$ 항은 $n$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6 + 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 4

$10$ 항은 $n$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

단계 6.2

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

단계 8.1.2

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 0 + 0}{1 + 0}$

단계 8.1.3

$6 + 0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6 + 0}{1 + 0}$

단계 8.1.4

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{1 + 0}$

단계 8.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{1}$

단계 8.3

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6$