미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

단계 1.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

단계 1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

단계 1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.7.2

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

단계 2.3

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

단계 2.7.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 2.10

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

단계 2.11

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

단계 2.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 4.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

단계 4.1.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

단계 4.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

단계 4.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.1.7.2

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 5.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

단계 6.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 x^{1} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$27 x = 0^{3}$

단계 6.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 x = 0$

단계 6.3.3

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 6.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 6.3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{27}$

단계 6.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.3.1

$0$ 을 $27$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 9.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 9.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

단계 9.3.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{0}$

단계 9.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{2}{0}$

단계 9.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.2.2

최종 답은 $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.3

1차 도함수 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ 입니다.

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극솟값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11