미적분 예제

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

단계 1

먼저 $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 y^{3} - 3 y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 y^{3} - 3 y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 3 y^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

단계 1.1.4.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 y^{2} - 6 y$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

단계 2

$8^{u}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

단계 3

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

단계 4

$8^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ 입니다.

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ 을 $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

단계 5.2

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{\ln (8)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $2 y^{3} - 3 y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$