미적분 예제

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 4 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 4 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$4 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $4 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u = 4 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 4 + 1$

단계 2.3.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 5$

단계 2.4

$u = 4 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 + 4$

단계 2.5.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 3

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 5.1.3

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$8$ , $5$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $8^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.3

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.3.2.1

$3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.3.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.7

$2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

단계 7.2.8

$5^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

단계 7.2.9

$5^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

소수 형태:

$7.63138474 \dots$

단계 9