미적분 예제

$2 x y^{3} - x^{3} = y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x y^{3} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.6

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.2.7

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

단계 2.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x y^{2} y' + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' = 2 y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 y y'$ 를 뺍니다.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $2 y^{3}$ 를 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3}$

단계 5.2.2

방정식의 양변에 $3 x^{2}$ 를 더합니다.

$6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

단계 5.3

$6 y^{2} x y' - 2 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$6 y^{2} x y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (3 y x) - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

단계 5.3.2

$- 2 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

단계 5.3.3

$2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

단계 5.4

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ 의 각 항을 $2 y (3 y x - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ 의 각 항을 $2 y (3 y x - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2.3

$3 y x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.1

$- 2 y^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.2.1

$2 y (3 y x - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{3}}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.2

$y^{3}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.1

$- y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 y}{2 y}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(3 y x - 1) \cdot 2 y$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.1

$\frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ 에 $\frac{2 y}{2 y}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{(3 y x - 1) (2 y)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.3.2

$(3 y x - 1) (2 y)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y^{2} (2 y) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{2} y + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.5.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y \cdot y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5.2.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.5.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y^{1} y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{1 + 2} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.5.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.6.1

$- 2 y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 y^{3}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.6.2

$3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.6.3

$- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.6.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.6.4.1

$- (2 y^{3} - 3 x^{2})$ 을 $- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 5.4.3.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$