미적분 예제

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{1} = 5 x^{3} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$5 x^{3} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$15 x^{2} + 0$

단계 2.1.4.2

$15 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 x^{2}$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ 에 $\frac{1}{15}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

단계 3.2

$3 - e^{u_{1}}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

단계 4

$\frac{1}{15}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{15}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

단계 5

$\frac{1}{15}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$3 - e^{u_{1}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

단계 6.1.2

미분합니다.

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단계 6.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

단계 6.1.2.2

$3$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1.3.1

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- e^{u_{1}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

단계 6.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - e^{u_{1}}$

단계 6.1.4

$0$ 에서 $e^{u_{1}}$ 을 뺍니다.

$- e^{u_{1}}$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 10.2

$\frac{2}{15}$ 와 $\ln (| u_{2} |)$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u_{2}$ 를 모두 $3 - e^{u_{1}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

단계 11.2

$u_{1}$ 를 모두 $5 x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$