미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[1, 7]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{3}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[1, 7]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

단계 5

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

단계 6

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$7$ , $1$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

단계 7.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $7$ 사이의 거리는 $7$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

단계 7.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

단계 7.3.3

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

단계 8

$7$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

단계 9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

단계 9.2

$3 \ln (7)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

단계 9.3

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

단계 9.4

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

단계 11