미적분 예제

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ , $g (y) = 5 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $5 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.6.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $5 x - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

단계 3.8

$5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

단계 3.9

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

단계 3.10

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

단계 3.11

분수를 통분합니다.

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단계 3.11.1

$5 x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

단계 3.11.2

$5$ 와 $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

단계 3.11.3

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x'$ 을 묶습니다.

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

단계 5.2

양변에 $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3.1.1.3

${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 5.4

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

단계 5.4.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$