미적분 예제

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${(e^{2 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 3.3

$e^{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

단계 5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

단계 5.4

분수를 통분합니다.

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단계 5.4.1

$e^{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

단계 5.4.2

$2$ 와 $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

단계 6.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

단계 6.4

$- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ 에서 $2 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.4.1

$- 4 e^{2 x} x$ 에서 $2 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

단계 6.4.2

$2 e^{2 x}$ 에서 $2 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

단계 6.4.3

$2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ 에서 $2 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

단계 6.5

$e^{2 x}$ 및 $e^{4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.1

$2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ 에서 $e^{4 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

단계 6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

단계 6.5.2.4

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 6.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

단계 6.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

단계 6.9

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

단계 6.10

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$