미적분 예제

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

단계 3

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

단계 4

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

단계 5

$(u + 1) u^{6}$ 을 곱합니다.

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

단계 6.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

단계 6.1.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

단계 6.2

$u^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{1}{8}$ 와 $u^{8}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

단계 10.1.2

$\frac{1}{7}$ 와 $u^{7}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

단계 10.2

간단히 합니다.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$