미적분 예제

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 4.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 4.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4.2.3

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

단계 4.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 4.9

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ 에 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

단계 4.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.1

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

단계 4.10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.2.3

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.3

$\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.4

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.5.1

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.5.6.5

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.6

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.7

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.7.1

$2$ 와 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.7.2

$\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

단계 4.11.3.8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.8.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

단계 4.11.3.8.2

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.8.2.1

$x^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

단계 4.11.3.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.8.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.8.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 4.11.3.8.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

단계 4.11.3.8.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.3.8.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

단계 4.11.3.8.2.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11.4

$\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

단계 4.11.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.5.1

$\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

단계 4.11.5.2

$\sqrt{(x - 1) x}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

단계 4.11.5.3

$\sqrt{(x - 1) x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

단계 4.11.5.4

$\sqrt{(x - 1) x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

단계 4.11.5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

단계 4.11.5.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

단계 4.11.5.7

${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ 을 $(x - 1) x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(x - 1) x}$ 을(를) ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.11.5.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.11.5.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.11.5.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.5.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.11.5.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

단계 4.11.5.7.5

간단히 합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

단계 4.11.6

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

단계 4.11.6.2

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

단계 4.11.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

단계 4.11.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

단계 4.11.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

단계 4.11.6.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

단계 4.11.7

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$