미적분 예제

$y = x^{4} \sin (x)$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$\ln (x^{4} \sin (x))$ 을 $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

단계 2.2

$4$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{4})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

단계 3.2.2

합의 법칙에 의해 $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 가 됩니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \ln (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

단계 3.2.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

단계 3.2.3.3

$4$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

단계 3.2.4

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.4.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2.4.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2.4.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2.4.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

단계 3.2.4.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

단계 3.2.5

간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

단계 3.2.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.2.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

단계 3.2.5.2.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

단계 3.2.5.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

단계 5.3

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

$x^{4} \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

단계 5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

단계 5.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$x^{4} \sin (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

단계 5.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

단계 5.5

$\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$