미적분 예제

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 7

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

단계 10

$16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$1$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

단계 12.2.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

단계 12.2.3

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

단계 12.2.4

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.6

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.7

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.8

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.8.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.8.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.9

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.11

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.12

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.12.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.12.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.14

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.15

$9$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.16

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.16.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.16.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.16.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.17

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 12.2.5.19

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

단계 12.2.5.20

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.20.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

단계 12.2.5.20.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.20.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 12.2.5.20.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 12.2.5.20.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

단계 12.2.5.20.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

단계 12.2.5.21

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

단계 12.2.5.22

$\frac{1}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

단계 12.2.5.23

$16$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$6 + \frac{16}{4}$

단계 12.2.5.24

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.24.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

단계 12.2.5.24.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.24.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

단계 12.2.5.24.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 12.2.5.24.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 + \frac{4}{1}$

단계 12.2.5.24.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 + 4$

단계 12.2.5.25

$6$ 를 $4$ 에 더합니다.

$10$

단계 13