미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

단계 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.4.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{2}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

단계 1.1.1.4.3

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 1.1.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 1.1.2.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [48 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $3 x^{2} + 24 x + 48$ 입니다.

$3 x^{2} + 24 x + 48$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$3 x^{2} + 24 x + 48$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

단계 1.2.2.1.2

$24 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

단계 1.2.2.1.3

$48$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

단계 1.2.2.1.4

$3 x^{2} + 3 (8 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

단계 1.2.2.1.5

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

단계 1.2.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

단계 1.2.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 1.2.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

단계 1.2.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

단계 1.2.3

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 1.2.3.2.1.2

${(x + 4)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{2} = 0$

단계 1.2.4

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 1.2.5

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

단계 4.2.1.2

$3$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

단계 4.2.1.3

$24$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

단계 4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$108$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

단계 4.2.2.2

$- 36$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = 12$

단계 4.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 4.3

$f'' (- 6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 4, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

단계 5.2.1.3

$24$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 0 + 48$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 48$

단계 5.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 4, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7