미적분 예제

${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 6

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

단계 10

항을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

단계 10.2

$2$ 와 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

단계 10.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

단계 10.4

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

단계 10.5

$6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

단계 11

공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

단계 11.4

$3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

단계 12

$3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$