미적분 예제

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

단계 3

$2$ 와 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

단계 4

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = 2 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.4.2

$2 x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.5

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.10

분수를 통분합니다.

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단계 5.10.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

단계 5.10.3

$\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ 에 $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

단계 6

지수를 더하여 $2 x - 1$ 에 ${(2 x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$2 x - 1$ 에 ${(2 x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.1

$2 x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

단계 6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

단계 6.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4

항을 묶습니다.

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단계 7.4.1

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.2

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.5

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.6

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.7

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.8

$2 x + 2$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

단계 7.4.10

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.11

${(2 x - 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.12

${(2 x - 1)}^{2}$ 및 ${(2 x - 1)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.12.1

$3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ 에서 ${(2 x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

단계 7.4.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.12.2.1

${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ 에서 ${(2 x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

단계 7.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

단계 7.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.5.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.5.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.5.1.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.6

$x + 1$ 및 ${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.1

$6 (x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.2.1

${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

단계 7.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

단계 7.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$