미적분 예제

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

단계 3

$x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ 을 $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.2.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.3.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2.5.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.3

$\frac{3 x}{3 x + 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.4

$\frac{3 x + 1}{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.6

$3$ 와 $\frac{3 x + 1}{3 x}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.8

$f (x) = x$ , $g (x) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.10

$3 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.11

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.12

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.14

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.15

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.16

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.17

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.18

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.19

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.20

$\frac{3 x + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.21

$3 x + 1$ 및 ${(3 x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.21.1

$1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.21.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.21.2.1

$x {(3 x + 1)}^{2}$ 에서 $3 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.22

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 4.3.23

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

단계 4.3.24

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 4.5

$\frac{1}{x (3 x + 1)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

단계 4.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

단계 4.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

단계 5

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

단계 6

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

단계 7.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

단계 7.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

단계 7.2.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

단계 7.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

단계 7.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

단계 7.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 7.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

단계 9

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{- \frac{1}{3}}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$