미적분 예제

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{3 x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{3}{2} d x$ 이므로 $\frac{2}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{3 x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{3 x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2}$

단계 1.2

$u = \frac{3 x}{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1.1

$3 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

단계 1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

단계 1.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

단계 1.3.1.2.4

$3 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 1.3.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{3 x}{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

단계 1.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{3}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

단계 2.3

$5^{u}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

단계 2.4

$5^{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

단계 4

$5^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

단계 5

$\frac{2}{3}$ 와 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{3}{2}$ , $0$ 일 때, $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

단계 6.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

단계 7.2

$2$ 와 $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

단계 7.4

조합합니다.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

단계 7.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

단계 7.6

$\ln (5)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

소수 형태:

$4.21693387 \dots$

단계 9