미적분 예제

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 7 x^{2}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{3} x^{3} - 7 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.4

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.6

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.6.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x^{2}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} - 7 (2 x)$

단계 1.1.1.3.3

$2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - x^{2} - 14 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} - 14 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

단계 1.1.2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 14 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 14 x$ 의 미분은 $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x - 14 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x - 14 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$- 14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 x - 14$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 x - 14$ 입니다.

$- 2 x - 14$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 x - 14 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 x - 14 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $14$ 를 더합니다.

$- 2 x = 14$

단계 1.2.3

$- 2 x = 14$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 2 x = 14$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{14}{- 2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{14}{- 2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{14}{- 2}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$14$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x = - 7$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 7)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10$ 을 대입합니다.

$f'' (- 10) = - 2 \cdot - 10 - 14$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$f'' (- 10) = 20 - 14$

단계 4.2.2

$20$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$f'' (- 10) = 6$

단계 4.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 4.3

$f'' (- 10)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 7)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 7)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 7, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 - 14$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 14$

단계 5.2.2

$0$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 14$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 14$ 입니다.

$- 14$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 7, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 7, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 7)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 7, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7