미적분 예제

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2} - 1} x$

단계 1.3.2

$2 e^{x^{2} - 1} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2} - 1}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{x^{2} - 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 1}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 1})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x^{2} - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8.2

$e^{x^{2} - 1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \cdot 1)$

단계 2.10

$e^{x^{2} - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1})$

단계 2.11

간단히 합니다.

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단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1})) + 2 e^{x^{2} - 1}$

단계 2.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

단계 2.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$

단계 2.11.4

$4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 4.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

단계 4.1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

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단계 4.1.3.1

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2} - 1} x$

단계 4.1.3.2

$2 e^{x^{2} - 1} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x e^{x^{2} - 1}$ 입니다.

$2 x e^{x^{2} - 1}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

단계 5.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$e^{x^{2} - 1} = 0$

단계 5.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.4

$e^{x^{2} - 1}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$e^{x^{2} - 1}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x^{2} - 1} = 0$

단계 5.4.2

$e^{x^{2} - 1} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x^{2} - 1}) = \ln (0)$

단계 5.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.4.2.3

$e^{x^{2} - 1} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.5

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{0 - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 e^{- 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 \frac{1}{e} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.6

$0$ 에 $\frac{1}{e}$ 을 곱합니다.

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 9.1.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 2 e^{0 - 1}$

단계 9.1.8

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 + 2 e^{- 1}$

단계 9.1.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + 2 \frac{1}{e}$

단계 9.1.10

$2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2}{e}$

단계 9.2

$0$ 를 $\frac{2}{e}$ 에 더합니다.

$\frac{2}{e}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = e^{{(0)}^{2} - 1}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = e^{0 - 1}$

단계 11.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = e^{- 1}$

단계 11.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (0) = \frac{1}{e}$

단계 11.2.4

최종 답은 $\frac{1}{e}$ 입니다.

$y = \frac{1}{e}$

단계 12

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, \frac{1}{e})$ 은 극솟값임

단계 13