미적분 예제

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

단계 1.2

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

단계 1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

단계 1.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

단계 1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

단계 2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5.1.2

$- 4 \sin^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

단계 5.1.3

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

단계 5.1.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5.1.5

$4 \cos^{2} (t)$ 을 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

단계 5.1.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

단계 5.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 5.2.1

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

$\sin (t) (2 \cos (t))$ 에서 $\cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

단계 5.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

단계 5.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

단계 5.2.2

$\sin (t)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

단계 7.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

단계 8

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

단계 10

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$