미적분 예제

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y + x^{3} y - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.3.4

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

단계 2.4.3

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

단계 2.5

항을 다시 정렬합니다.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} y$ 를 뺍니다.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.2

$x^{3} y' + y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{3} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.2.2

$y'$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.2.3

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.2.4

$y' x^{3} + y' \cdot 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.5

인수분해합니다.

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단계 5.5.1

간단히 합니다.

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단계 5.5.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.5.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

단계 5.6

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ 의 각 항을 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ 의 각 항을 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 5.6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 5.6.2.2

$x^{2} - x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 5.6.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$