미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 3.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

단계 3.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

단계 3.2.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

단계 3.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

단계 3.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

단계 3.2.6.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

단계 7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{5}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$2$ 와 $\frac{2}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

단계 9.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$