미적분 예제

$6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4$

단계 1

합의 법칙에 의해 $6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 e^{4 x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$6 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.7

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{3 x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$24 e^{4 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$24 e^{4 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 e^{4 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$24 e^{4 x} - 2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.7

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 0$

단계 4.2

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$