미적분 예제

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

단계 2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - \frac{5}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

단계 3.3

$- \frac{5}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{5}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \frac{5}{4}$ 입니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

단계 3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

단계 4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$e^{x}$ 와 $\frac{5}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.3.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.4

$e^{x} x^{2}$ 에서 $\frac{5 e^{x}}{4}$ 을 뺍니다.

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단계 4.4.1

$e^{x}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2} e^{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.4.3

$x^{2} e^{x}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$x^{2} e^{x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.5.2

$4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.5.2.1

$4 x^{2} e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.5.2.2

$- 5 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.5.2.3

$e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

단계 4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $2 e^{x} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

단계 4.7

$2 e^{x} x$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

단계 4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

단계 4.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

$e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.9.1.1

$2 e^{x} x \cdot 4$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

단계 4.9.1.2

$e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

단계 4.9.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

단계 4.9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

단계 4.9.4

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.9.4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.9.4.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

단계 4.9.4.1.2

$8$ 를 $- 2$ + $10$ 로 다시 씁니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

단계 4.9.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

단계 4.9.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.9.4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

단계 4.9.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

단계 4.9.4.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$