미적분 예제

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = arctanh (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.2

$arctanh (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.4

$x$ 와 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.5

$arctanh (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $arctanh (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 을(를) ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

단계 3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

단계 3.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

단계 3.14

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

단계 3.15

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

단계 3.16

$- 2$ 와 $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

단계 3.17

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

단계 3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.19

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.20

공약수로 약분합니다.

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단계 3.20.1

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

단계 3.20.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.20.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 3.22

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.23

지수를 더하여 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.23.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 3.23.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

단계 3.23.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.23.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

단계 3.24

${(1 - x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$arctanh (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

단계 4.2.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

단계 4.2.4

$arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ 에서 $arctanh (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1.1

$- x^{2} arctanh (x)$ 에서 $arctanh (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4.1.3

$arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ 에서 $arctanh (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4.3

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

단계 4.4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

단계 4.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

단계 4.5.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

단계 4.5.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

단계 4.6

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

단계 4.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

단계 4.7

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

단계 4.7.2

$arctanh (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$arctanh (x)$