미적분 예제

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x - 6}{4 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

단계 1.2

$f (x) = x - 6$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.3

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.3.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

단계 1.3.6.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

단계 1.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

단계 1.4.2.2

$0$ 에서 $- 6$ 을 뺍니다.

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

단계 1.4.2.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{4 x^{2}}$

단계 1.4.3

$6$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

단계 1.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

단계 1.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

단계 1.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{2 x^{2}}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 2.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

단계 2.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

단계 2.4.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

단계 2.4.3

$\frac{- 6}{2}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

단계 2.4.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

단계 2.4.5

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

단계 2.4.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

단계 2.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

단계 2.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

단계 2.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{x^{3}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 3.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 3.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 3.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

단계 3.4

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$9 x^{- 4}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$9 \frac{1}{x^{4}}$

단계 3.5.2

$9$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$