미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4} + 5 x}{4 x + 3}$

단계 1

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $\sqrt{x^{2}} = x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

단계 2.1.2

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.2.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.2.2.2

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.7

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 2.8

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

단계 4.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

단계 4.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

단계 4.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6.1.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{9} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6.1.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6.1.5

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{8}{4 + 3 \cdot 0}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{4 + 0}$

단계 6.2.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8}{4}$

단계 6.3

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$2$