미적분 예제

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

단계 1

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{8} + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 x^{7} d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x^{8} + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{8} + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{8} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.3

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.4

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$8 x^{7} + 0$

단계 2.1.5

$8 x^{7}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x^{7}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

단계 3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

단계 4

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 5

$\frac{1}{8}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{8} + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$