미적분 예제

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.4.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.1.1

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.5.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.2.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\ln (1)}$

단계 1.1.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x} - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 1.3.6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x}}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x$

단계 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

단계 1.6

항을 묶습니다.

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단계 1.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

단계 1.6.2

$- 2 x$ 와 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

단계 1.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} x$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.4

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.5

$2 \cdot 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.6

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.7

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.8

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 2.9

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 3.3

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot lim_{x \to 1} x$

단계 3.4

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.1.1.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.1.1.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.1.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.1.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot 1$

단계 4.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1} \cdot 1$

단계 4.3

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 3 \cdot 1$

단계 4.4

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{2} \cdot 1$

단계 4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

단계 4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{3}{2}$

소수 형태:

$- 1.5$