미적분 예제

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

단계 1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ 을 $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

단계 4.3.1.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

단계 4.3.1.3

지수를 더하여 $e^{3 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

단계 4.3.1.3.2

$3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

단계 4.3.2

$2 e^{3 x}$ 를 $2 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

단계 7

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

단계 8

먼저 $u_{1} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u_{1} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 8.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 8.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 8.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

단계 9

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

단계 11

$\frac{1}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

단계 12

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

단계 13

먼저 $u_{2} = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{2} = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 13.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 13.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 13.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

단계 14

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

단계 15

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 16

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

단계 17

간단히 합니다.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

단계 18

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 18.1

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

단계 18.2

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

단계 19

답은 함수 $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$