미적분 예제

$y = \frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = {(6 x + 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{({(6 x + 1)}^{3})}^{2}}$

단계 3.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

${({(6 x + 1)}^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

단계 3.2.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.2.3

${(6 x + 1)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 6 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $6 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 {(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + 0))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \cdot 6)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.7.2

${(6 x + 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} (6 \cdot {(6 x + 1)}^{2})}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.4.7.3

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

$4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ 에서 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1.1

$4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3}$ 에서 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.1.2

$- 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ 에서 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.1.3

$2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)$ 에서 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1) - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x) + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.1.5

$12 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.2

${(6 x + 1)}^{2}$ 및 ${(6 x + 1)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.1

$2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)$ 에서 ${(6 x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.1

${(6 x + 1)}^{6}$ 에서 ${(6 x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$