미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

단계 5.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$t$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

단계 5.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- t^{- 1}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

단계 5.3.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

단계 5.3.3

$- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

단계 5.3.4

$- (t^{- 1} - 1)$ 을 $- 1 (t^{- 1} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

단계 5.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

단계 6.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 6.5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{t}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 6.6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.6.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

단계 6.6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.6.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

단계 6.6.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

단계 6.6.2.3

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{2})$

단계 6.6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$