미적분 예제

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

단계 2

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2 e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y e^{x}$ 의 미분은 $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

단계 2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

단계 3

$\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y \cos (2 x y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ 입니다.

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

단계 3.2

$f (y) = y$ , $g (y) = \cos (2 x y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.3

$f (y) = \cos (y)$ , $g (y) = 2 x y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x y$ 로 바꿉니다.

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.3.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $2 x y$ 로 바꿉니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.4

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

단계 3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

단계 3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

단계 3.9

$\cos (2 x y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

단계 4.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$