미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{40} {(4 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{45}}$

단계 1

분모의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40}$ 의 지수 $40$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 2.7

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ 의 지수 $5$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4.3

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 4.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}$ 의 지수 $45$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

단계 6.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{45}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 + 0)}^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{40} {(4 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{40} {(4 + 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.5

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{40} \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.6

$2$ 를 $40$ 승 합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.1.7

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

단계 8.2.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 0)}^{45}}$

단계 8.2.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{2^{45}}$

단계 8.2.4

$2$ 를 $45$ 승 합니다.

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{35184372088832}$

단계 8.3

$1099511627776$ 에 $1024$ 을 곱합니다.

$\frac{1125899906842624}{35184372088832}$

단계 8.4

$1125899906842624$ 을 $35184372088832$ 로 나눕니다.

$32$