미적분 예제

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

단계 1

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

단계 4.1.2

분수를 나눕니다.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

단계 4.1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

단계 4.1.4

$e^{- x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

단계 4.3

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

단계 4.4

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

단계 4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

단계 4.4.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

단계 4.5

$e^{0} \sec^{2} (x)$ 을 간단히 합니다.

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 8

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

단계 9

간단히 합니다.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$