미적분 예제

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

단계 1.2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

단계 1.2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

단계 1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

방정식의 양변에서 $2 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.1.2

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

단계 1.5.1.3

방정식의 양변에 $2 y$ 를 더합니다.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

단계 1.5.2

$2 x^{2} y y' - 2 x y'$ 에서 $2 x y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 x^{2} y y'$ 에서 $2 x y'$ 를 인수분해합니다.

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

단계 1.5.2.2

$- 2 x y'$ 에서 $2 x y'$ 를 인수분해합니다.

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

단계 1.5.2.3

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ 에서 $2 x y'$ 를 인수분해합니다.

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

단계 1.5.3

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ 의 각 항을 $2 x (x y - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ 의 각 항을 $2 x (x y - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2.3

$x y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.1

$- 2 y^{2} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.2.1

$2 x (x y - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.4.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.4.2.1

$2 x (x y - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.7.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.1.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x y - 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.4.1

$\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.4.2

$(x y - 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.6.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.7.1

$- y^{2} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.3

$- (y^{2} x) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.4

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.5

$- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.7.6.1

$- (y^{2} x + x - y)$ 을 $- 1 (y^{2} x + x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

단계 1.5.3.3.7.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

단계 1.7

$y = 0$ 와 $x = 1$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.3.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.3.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.3.4

$0 + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

단계 1.7.4

$(1) \cdot (0) - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

단계 1.7.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{0 - 1}$

단계 1.7.5.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{- 1}$

단계 1.7.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- - 1$

단계 1.7.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(1, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 1 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x - 1$

단계 3