미적분 예제

$\int \frac{3}{x^{3}} + 5 \sqrt{x} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 3.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \int x^{- 3} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

단계 6

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x$

단계 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{- 3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 9.2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 9.2.3

$5$ 와 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

단계 9.2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$