미적분 예제

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

단계 1

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

단계 5.3

$\sin^{2} (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 9.3

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 12

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 13

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 13.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 13.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 14

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 16

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

단계 17

간단히 합니다.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

단계 18

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 18.1

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

단계 18.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

단계 18.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

단계 19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$2$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

단계 19.2

$\sin (\frac{2 x}{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

단계 20.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

단계 20.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

단계 21

답은 함수 $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$