미적분 예제

$\int x^{2} {(2 x - 1)}^{2} d x$

단계 1

$x^{2} {(2 x - 1)}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(2 x - 1)}^{2}$ 을 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int x^{2} ((2 x - 1) (2 x - 1)) d x$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) d x$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) d x$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.8

$x$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x \cdot x) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.9

괄호를 옮깁니다.

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x) x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.10

괄호를 옮깁니다.

$\int x^{2} (2 \cdot 2) x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.11

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.12

$x$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot - 1 x) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.13

괄호를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot - 1) x + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.14

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.15

괄호를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot 2) x + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.16

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

단계 1.17

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.18

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 4 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.19

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 (x^{2} x^{1}) x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 x^{2 + 1} x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.21

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.22

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 (x^{3} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.23

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 x^{3 + 1} + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.24

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.25

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.26

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.27

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.28

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.29

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.30

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.31

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.32

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

단계 1.33

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1 x^{2} d x$

단계 1.34

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

단계 1.35

$- 2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\int 4 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

단계 3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

단계 5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 8.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

$\frac{4 x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{5} x^{5} - x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$